Ejemplos de ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad matemática, que se da entre dos expresiones algebraicas, en las cuales aparecen constantes, números o coeficientes (que son valores ya conocidos) y variables o incógnitas (que son valores desconocidos). Las ecuaciones lineales son una de las dos formas matemáticas de expresar una relación lineal, que consiste en un conjunto de pares ordenados que tienen una recta como representación gráfica (la otra son las funciones lineales).

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más incógnitas, y pueden darse solas o en un sistema de ecuaciones lineales, es decir, varias ecuaciones lineales diferentes que tienen las mismas variables, y que se resuelven sustituyendo la variable en una ecuación por su equivalente en las otras.

De forma más específica, se denomina ecuación lineal a una ecuación que tiene la forma:

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b

donde “a” y “b” son números reales y donde la ecuación tiene “n” incógnita. En este tipo de ecuaciones, todas las “x” serán incógnitas, mientras que todas las “a” serán coeficientes y “b” será el término independiente. En una ecuación lineal, las variables están a la primera potencia y solo se dan sumas y restas entre las variables.

Pasos para la resolución de ecuaciones lineales

1. Eliminar los paréntesis de la expresión, para lo cual se pueden aplicar propiedades del álgebra como la propiedad conmutativa o la propiedad distributiva.

2. Quitar los denominadores en caso de haber términos fraccionarios. Estos dos pasos se realizan con el objetivo de poder separar los términos independientes de los que tengan la incógnita.

3. Agrupar todos los términos independientes en un miembro de la ecuación (es decir, de un lado del igual) y todos los términos dependientes que tienen incógnita en el otro miembro.

4. Reducir los términos semejantes realizando operaciones algebraicas hasta que la incógnita haya quedado totalmente despejada, para lo cual puede ser necesario volver a realizar los pasos 1) y 2).

Ejemplos de ecuaciones lineales

• 2x = 30

• x = 9 + 4x - 3

• 2x + 9 - 4x = 12x + 5 - 6x + 6

• x² = 9

• x² + 4x + 6 = 0

• 2x + 4y = x/1

• 3x + 7y = 16

• 21 = 9z - 12y

• 12y = 42

• x + y + z = 0

• 2x + 3y + 4z =5

• 4x - 2y + 9z = x +12y -4z

• x/4 - 2 = x/2

• y/2 + x/3 = 34

• 3x + 15 = 5x/2 + 9y

• 4. (x-5) = 2z + 2

• 45z - 23x + 34y = 10z + 33y

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales

• Ejemplo 1:

8x = 32

Nuestro objetivo para resolver la ecuación es despejar la incógnita x. Como no tenemos paréntesis ni términos fraccionarios, y además ya tenemos todos los términos independientes de un lado del igual, dividimos ambos términos por ocho (ya que al realizar la misma operación en ambos términos de una ecuación, la igualdad se mantiene):

8x / 8 = 32 / 8

De manera que simplificando en ambos términos (los dos ochos en el término izquierdo y la fracción en el término derecho) nos queda:

x = 4

• Ejemplo 2:

3x - 2 = 4 + x

Lo primero que podemos hacer aquí es agrupar los términos independientes de un lado del igual y los términos con incógnita en el otro miembro. De esa forma, pasamos los términos y queda:

3x - x = 4 + 2

Ahora, reducimos los términos todo lo posible:

2x = 6

Y finalmente, dividimos ambos términos por 2:

2x/2 = 6/2

Simplificamos y queda la incógnita despejada:

x = 3

• Ejemplo 3:

4 .(3x - 5) = 7 + x

En este caso, debemos deshacernos de los paréntesis, para lo cual aplicamos la propiedad distributiva:

4. 3x - 4.5 = 7 + x

Realizamos las operaciones para reducir los términos:

12x - 20 = 7 + x

Ahora pasamos todos los términos independientes de un lado del igual y los dependientes del otro lado:

12x - x = 7 + 20

Realizamos las operaciones posibles en ambos miembros:

11x = 27

Y despejamos completamente la incógnita:

x = 27/11

• Ejemplo 4:

5. (x + 10) = -3. (4 - x) + 1x

Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

5x + 50 = -12 + 3x + 1x

Pasamos todos los términos independientes de un lado del igual:

5x - 3x - 1x = -12-50

Realizamos las operaciones para reducir los términos a la mínima expresión posible:

x = -62

Ejemplos de gráficos de ecuaciones lineales

Todas las ecuaciones con dos incógnitas pueden ser graficadas como una recta en el plano cartesiano, ya que la gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución. Para ello, no hace falta más que encontrar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la recta, y trazar la recta que une ambos puntos. Para hallar un punto, se puede reemplazar una incógnita por un valor cualquiera, y luego proceder a despejar la otra incógnita.

• x + 2y = 7 P1 = (7;0) P2 = (0; 3,5)

• y = 3x + 1 P1 = (0;1) P2 = (1;4)