Ejemplos de binomios

Un binomio (del latín bi, que significa “dos” y del griego nomos, que significa “porción” o “parte”) es una expresión algebraica compuesta por dos términos (monomios) que están separados por una operación algebraica de suma o de resta. El binomio es un tipo de polinomio, cuyo grado se determina sumando los exponentes de ambos términos. Por ejemplo: a + b / a - b.

Existen diversas operaciones que pueden realizarse con un binomio, con el fin de simplificar su expresión y facilitar su resolución:

• Factor común: si se multiplica un binomio por un monomio, se puede aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y la resta.

c. (a + b) = ca + cb

• Diferencia de cuadrados o suma por diferencia: un binomio compuesto por la resta de dos monomios de grado dos, puede factorizarse como el producto de dos binomios de grado uno.

a² - b² = (a + b) . (a - b)

• Cuadrado de un binomio: un binomio elevado al cuadrado puede ser expresado como un trinomio cuadrado perfecto, es decir, como la suma del cuadrado de cada término con el doble del producto de los mismos.

(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b²

• Producto de dos binomios lineales: al producto de un par de binomios lineales puede aplicársele la propiedad distributiva, para luego extraer el término lineal mediante factor común.

(ax + b) . (cx + d) = acx² + axd + bcx + bd = acx² + (ad + bc) . x + bd

• Cubo de un binomio: un binomio al cubo es igual al cubo del primer monomio, más (o menos) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más triple del primero por el cuadrado del segundo más (o menos) el cubo del segundo monomio.

(a + b)³ = a³ + 3. a².b + 3. a. b² + b³

• Suma de cubos: si en una suma ambos monomios de un binomio están elevados al cubo, la expresión puede escribirse como la suma de ambos monomios por el cuadrado del primero menos la multiplicación de ambos más el cuadrado del segundo.

a³ + b³ = (a + b). (a² - ab + b²)

• Diferencia de cubos: si en una resta ambos monomios están elevados al cubo, la expresión puede escribirse como la resta de ambos monomios por el cuadrado del primero más la multiplicación de ambos más el cuadrado del segundo.

a³ - b³ = (a - b). (a² + ab + b²)

Ejemplos de binomios

• a + b

• a - b

• a² + b²

• 2a² + 3b³

• a5 + 47

• 32 - b³

• 15a + 22ab

• 9a7 + 18a7

• 12b² - 13b4

• sin a - cos b

• (cos a + sin b)²

• (a + b) . (a - b)

• (a + b)³

• 24 + (2cos a 3sin b)

Ejemplos de resoluciones de binomios

• Ejemplo 1:

9x .(2x + 4y) = 9x . 2x + 9x . 4y = 18x + 36y

En este caso, puede aplicarse la propiedad distributiva, por lo que el término 9x es distribuido entre los monomios.

• Ejemplos 2:

(3x - 4y)² = (3x)² + 2 .3x . (-4y) + (-4y)² = 9x² - 24xy + 16y²

Aquí aplicamos la regla del cuadrado de un binomio (ya que todo el binomio es el que está elevado al cuadrado). De esa forma, la expresión final será el cuadrado del primero sumado al doble de la multiplicación de los dos monomios sumado al cuadrado del segundo.

• Ejemplo 3:

(2x + 4)³ = (2x)³ + 3. (2x)² . 4 + 3 . 2x.4² + 4³ = 8x³ + 48x² + 160

La propiedad de cubo de un binomio nos permite transformar el binomio inicial (que está elevado al cubo) en un polinomio de tres términos, donde el primero es el cubo del primer monomio, el segundo es la suma del cuadrado de ambos monomios multiplicados por tres, y el tercero es el cubo del segundo monomio.

• Ejemplo 4:

9x² - 36 = (3x)² - 6² = (3x + 6) . (3x - 6)

Como ambos monomios pueden ser pensados como el cuadrado de una expresión menor, podemos usar la diferencia de cuadrados, lo que nos permite llegar a dos expresiones de grado uno.

• Ejemplo 5:

27x³ + 64 = (3x + 4) . (9x² - 12x + 16)

Como ambos monomios pueden ser pensados como el cubo de una expresión menor, podemos aplicar la regla de suma de cubos, llegando a una expresión más simple, de grado dos en vez de tres.

• Ejemplos 6:

(x + 3) . (x + 4) = x² + (3 +4)x + 3.4 = x² + 7x + 12

Podemos pensar la expresión inicial como el producto de dos binomios lineales, y de esa forma llegar a una expresión unificada de grado dos.