se vierte agua en un recipiente de forma cónica con rapidez r. El recipiente en forma de cono de base horizontal tiene el vértice dirigido hacia abajo, el radio de la base del cono es a, su altura b. Determinar la velocidad a la que la superficie del agua se eleva cuando la profundidad del agua es y. Después obtener el valor numérico de la incógnita, suponiendo que a=4 dm, b=3dm r=2 dm (a la 3) por minuto y y= 1 dm

Para determinar la velocidad a la que la superficie del agua se eleva cuando la profundidad del agua es y, podemos utilizar la similitud de triángulos entre el cono original y el cono que se forma con la superficie del agua.

Sea H la altura de la superficie del agua en el cono y R el radio de la superficie del agua en el cono. Podemos establecer la siguiente relación:

H/b = R/a

Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo (t):

(dH/dt) / b = (dR/dt) / a

Sabemos que (dH/dt) es la velocidad a la que la superficie del agua se eleva, y queremos encontrar su valor cuando H = y. Además, conocemos los valores de a, b y r, que son constantes en este problema. Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación:

(dH/dt) / 3 = (dR/dt) / 4

Ahora, necesitamos encontrar la relación entre dH/dt y dR/dt. Podemos utilizar el hecho de que el volumen del agua que entra al recipiente en un tiempo dado es igual al cambio en el volumen del cono de agua:

π(R^2)H = (1/3)π(a^2)b

Simplificando y derivando con respecto al tiempo (t):

R^2(dH/dt) + 2RH(dR/dt) = (1/3)(2a)(b)(dr/dt)

Reemplazamos los valores conocidos:

R^2(dH/dt) + 2R(dR/dt) = (1/3)(2)(4)(3)(2^3)

Simplificando y sustituyendo R = aH/b:

(aH/b)^2(dH/dt) + 2(aH/b)(dR/dt) = 96

Sustituimos también (dH/dt) / 3 = (dR/dt) / 4:

(aH/b)^2(3/a) + 2(aH/b)(4/a) = 96

Simplificamos y resolvemos para (dH/dt):

3H^2/b^2 + 8H/b = 96

Multiplicamos toda la ecuación por b^2 para despejar (dH/dt):

3H^2 + 8Hb = 96b^2

Finalmente, sustituimos H = y y b = 3:

3y^2 + 8y(3) = 96(3)^2

3y^2 + 24y - 864 = 0

Resolvemos esta ecuación cuadrática para encontrar el valor de y:

Utilizando la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática, obtenemos:

y = (-24 ± √(24^2 - 4(3)(-864))) / (2(3))

y = (-24 ± √(576 + 10368)) / 6

y = (-24 ± √10944) / 6

y = (-24 ± 104.56) / 6

Para y = 1 dm, aproximamos la solución a dos decimales y consideramos solo el resultado positivo:

y = (-24 + 104.56) / 6

y ≈ 13.43 dm

Por lo tanto, cuando la profundidad del agua es y = 1 dm, la velocidad a la que la superficie del agua se eleva es aproximadamente 13.43 dm/minuto.